Question

18．一个玻璃瓶中装有大小相等质地均匀颜色各不相同的玻璃小球共3个，现随机的倒出小球（至少倒出一个），倒后重新将倒出小球装回原瓶中，进行下一次操作．现通过倒玻璃球走跳棋游戏，规则如下：棋盘上标有第0站，第1站，第2站…一枚棋子开始停在第0站，棋手将玻璃瓶中的小球倒出，若倒出的小球是奇数个，将棋子向前走一步；若倒出的小球是偶数个，则将棋子向前走两步．然后将倒出的小球装回原玻璃瓶，准备下一次操作．设棋子跳到第n站（n∈N^*）的概率为P_n，已知P₀=1．
（1）求倒出的小球是奇数个的概率；
（2）求P₁、P₂；
（3）证明：数列$\{{P_n}-{P_{n-1}}\}，n∈{N^*}$是等比数列，并求P_n．

Answer 1

分析 （1）根据排列组合的知识即可求出，
（2）由（1）可得p₁，再根据概率公式即可求出P₂，
（3）根据数列的递推公式得到P_n-P_n-1=a_n，则${a_{n+1}}=-\frac{3}{7}{a_n}（n≥1）$，即可求出通项公式，再根据累加法，即可求出P_n．

解答 解：（1）倒出奇数个的概率$P=\frac{C_3^1+C_3^3}{C_3^1+C_3^2+C_3^3}=\frac{4}{7}$，
（2）${P_1}=\frac{4}{7}$，
注意到棋子落在第2站，可以是从第0站开始跳2步到第2站，也可以是从第1站跳1步到第2站，且（1）知，倒出偶数个小球的概率为$\frac{3}{7}$
则${P_2}=\frac{3}{7}{P_0}+\frac{4}{7}{P_1}=\frac{37}{49}$，
（3）由题意得  ${P_{n+1}}=\frac{4}{7}{P_n}+\frac{3}{7}{P_{n-1}}（n≥1）$，
变形得：${P_{n+1}}-{P_n}=-\frac{3}{7}（{P_n}-{P_{n-1}}）（n≥1）$，
令P_n-P_n-1=a_n，则${a_{n+1}}=-\frac{3}{7}{a_n}（n≥1）$，
∴数列$\{{P_n}-{P_{n-1}}\}，n∈{N^*}$是首项${a_1}={P_1}-{P_0}=-\frac{3}{7}$，公比$q=-\frac{3}{7}$的等比数列，
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}={（-\frac{3}{7}）^n}，n≥1$，
∴${P_n}={P_{n-1}}+{（-\frac{3}{7}）^n}，n≥1$，
∴${P_1}={P_0}+{（-\frac{3}{7}）^1}$，
${P_2}={P_1}+{（-\frac{3}{7}）^2}$，
${P_3}={P_2}+{（-\frac{3}{7}）^3}$，
…
${P_n}={P_{n-1}}+{（-\frac{3}{7}）^n}$
累加求和得：${P_n}=1+{（-\frac{3}{7}）^1}+{（-\frac{3}{7}）^2}+…{（-\frac{3}{7}）^n}=\frac{7}{10}[1-{（-\frac{3}{7}）^{n+1}}]$，
∴${P_n}=\frac{7}{10}[1-{（-\frac{3}{7}）^{n+1}}]，n≥1$．

点评 本题借助概率的知识，考查了数列的应用，以及数列的通项公式和前n和公式的求法，属于中档题．