题目内容
1．已知$sinx+cosy=\frac{1}{3}$，则cosy+sin2x-1的最大值为$\frac{4}{9}$．分析 由题意：$sinx+cosy=\frac{1}{3}$，可得：cosy=$\frac{1}{3}-sinx$，带入cosy+sin2x-1，利用二次函数是性质求解．
解答 解：由题意：$sinx+cosy=\frac{1}{3}$，
那么：cosy=$\frac{1}{3}-sinx$，
∵-1≤cosy≤1，
∴$-1≤\frac{1}{3}-sinx≤1$，
∴$-\frac{2}{3}$≤sinx≤$\frac{4}{3}$，
则：cosy+sin2x-1=$\frac{1}{3}-sinx+$sin2x-1=sin2x-sinx-$\frac{2}{3}$=（sinx-$\frac{1}{2}$）2-$\frac{11}{12}$
当sinx=$-\frac{2}{3}$时，cosy+sin2x-1取得最大值$（-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{11}{12}$=$\frac{4}{9}$．
故答案为：$\frac{4}{9}$．
点评 本题考查三角函数的性质的应用能力和有界限问题．属于中档题．
练习册系列答案
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