Question

已知f（x）=x²-ax+b，f（x）＞0的解集为{x∈R|x≠1}．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式mx²+（m-3）x-1＜f（x）的解集为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用不等式的解集，判断方程有重根，列出关系式即可求a、b的值；
（2）通过不等式mx²+（m-3）x-1＜f（x）的解集为R，对m与1的大小讨论，然后求实数m的取值范围．

解答： （本小题满分14分）
解：（1）由题意知，方程x²-ax+b=0的两个解为x₁=x₂=1…（2分）
∴1-a+b=0且△=a²-4b=0…4
解得a=2，b=1．…（6分）
（2）不等式mx²+（m-3）x-1＜f（x）的解集为R．
即（m-1）x²+（m-1）x-2＜0的解集为R，
∴①m=1满足…（8分）
②

m-1＜0 (m-1)2+8(m-1)＜0

…（10分）
⇒-7＜m＜1…（12分）
∴-7＜m≤1…（14分）

点评：本题考查函数的恒成立问题，三个二次的关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．