Question

已知直线L：y=x-2与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1相交于A、B两点．
（1）若直线L过该双曲线的右焦点，且点P（1，0）在该双曲线上，求双曲线的方程；
（2）若

OA

•

OB

=0，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：本题（1）利用两个条件“直线L过该双曲线的右焦点”和“点P（1，0）在该双曲线上”，得到关于参数的方程，解方程组，得到本题结论；（2）利用平面向量积的坐标运算，得到参数a、b的关系，研究关系式，实数a的取值范围，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵直线l的方程为：y=x-2，
∴直线l与x轴交点坐标为（2，0）．
∵直线L：y=x-2经过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点，
∴双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点坐标为（2，0）．
∴c=2，即：a²+b²=4．
又∵点P（1，0）在该双曲线上，
∴a=1．
∴b=

3

．
∴双曲线的方程为：x²-

y2

3

=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=x-2 x2 a2 - y2 b2 =1

，
得到：（b²-a²）x²+4a²x-4a²-a²b²=0，①
∴x1+x2=-

4a2

b2-a2

，
x1•x2=

-4a2-a2b2

b2-a2

，
∵

OA

•

OB

=0，
∴

y1

x1

•

y2

x2

=-1．
∴x₁•x₂+y_1•y₂=0．
∵y_1•y₂=（x₁-2）（x₂-2）=x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4，
∴2x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴a2=

2b2

b2+2

=

2

1+ 2 b2

＜2，
∴0＜a＜

2

．

点评：本题考查了椭圆的定义和方程，还考查了函数方程思想，本题难度适中，计算量较大，属于中档题．