Question

已知函数f（x）=

2x-a

2x+1

，其中a为常数，且函数f（x）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）的单调性，并给予证明；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过奇函数的定义，比较系数，即可求a的值；
（2）直接判断函数f（x）在区间（0，+∞）的单调性，利用函数的单调性的定义证明；
（3）利用反函数的定义域，求解函数f（x）的值域．

解答： 解：（1）函数f（x）是奇函数，所以对任意实数x（x≠0），
都有f（-x）=-f（x），即

2-x-a

2-x+1

=-

2x-a

2x+1

，
整理得（a+1）（2^x-1）=0，
因为2^x-1不恒为零，所以a+1=0，a=-1．…（4分）
（2）函数f(x)=

2x-1

2x+1

（0，+∞）是增函数，证明如下：
在区间（0，+∞）上任取x₁＞x₂＞0，则2x1-2x2＞0，(2x1+1)(2x2+1)＞0，
所以f(x1)-f(x2)=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，结论成立．…（10分）
（3）设y=

2x-1

2x+1

，整理得2x=

y+1

1-y

(y≠1)，由2^x＞0，

y+1

1-y

＞0，
解得-1＜y＜1，故函数的值域为（-1，1）． …（16分）

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，反函数的应用，考查分析问题解决问题的能力．