Question

把一个周长为18cm的长方形围成一个圆柱．
（1）求圆柱的体积V（x）关于圆柱底面周长x的函数，并指出定义域；
（2）当圆柱的体积V（x）最大时，求圆柱的底面周长与高的比值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据圆的周长表示出半径，再根据圆柱的体积公式，求出体积即可，根据函数的实际意义求出定义域，
（2）利用导数求出圆柱的体积的最大值时x的值，即可求出圆柱的底面周长与高的比值．

解答： 解：（1）因为圆柱底面周长x为长方形一条边长，
所以圆柱的高是另一边长为（

18

2

-x）=（9-x），
因为设圆柱的底面半径为r，
则2πr=x，
解得r=

x

2π

，
所以V（x）=π(

x

2π

)2•（9-x）=

1

4π

（9x²-x³），定义域为（0，9），
（2）V′（x）=

1

4π

（18x-3x²），
令V′（x）=0，解得x=6，
当V′（x）＞0，即0＜x＜6时，函数递增，
当V′（x）＜0，即6＜x＜9时，函数递减，
故当x=6时，函数V（x）有最大值，
此时圆柱的高为9-6=3，
故圆柱的底面周长与高的比值为

6

3

=2．

点评：本题考查了导数的再几何中的应用，关键是利用导数求出函数最值，属于中档题