Question

已知二次函数f（x）=ax²-bx+1（a，b为常数）．
（1）若a=1，且函数f（x）在区间（-3，4）上不是单调函数，求实数b的取值范围；
（2）若b=a+2，a∈Z，当函数f（x）在x∈（-2，-1）上恰有一个零点，求a的值；
（3）设函数g（x）=2 x2-2x，若对任意的实数x₀，都有f（x₀）∈{y|y=g（x）}成立，求实数a，b满足的条件．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出对称轴方程，由f（x）在区间（-3，4）上不是单调函数，得到-3＜

b

2

＜4，由此解得b的范围；
（Ⅱ）把b=a+2代入函数解析式，得到f（x）=ax²-（a+2）x+1，分f（x）有相异实根，且只有一根在（-2，-1）上；f（x）有两相等实根，且根在（-2，-1）上两种情况求得a的值；
（Ⅲ）配方求得x²-2x的范围，进一步得到g（x）的值域为[

1

2

，+∞）．设f（x）的值域为B，由题意知，B⊆[

1

2

，+∞），转化为f（x）在R上有最小值大于等于

1

2

列不等式组得答案．

解答： （Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x²-bx+1的对称轴为x=

b

2

，
若f（x）在区间（-3，4）上不是单调函数，
则-3＜

b

2

＜4，解得-6＜b＜8．
∴实数b的取值范围是（-6，8）；
（Ⅱ）∵b=a+2，∴f（x）=ax²-（a+2）x+1．
①f（x）有相异实根，且只有一根在（-2，-1）上，
故f（-2）•f（-1）＜0，即（6a+5）（2a+3）＜0，
∴-

3

2

＜a＜-

5

6

，
又∵a∈Z，∴a=-1．
②f（x）有两相等实根，且根在（-2，-1）上，
∴

△=(a+2)2-4a=0 -2＜ a+2 2a ＜-1

，此不等式组无解．
综上所述，a=-1；
（Ⅲ）∵x²-2x=（x-1）²-1≥-1，
∴2x2-2x≥

1

2

，
∴g（x）的值域为[

1

2

，+∞）．
设f（x）的值域为B，由题意知，B⊆[

1

2

，+∞）．
即f（x）在R上有最小值，且f(x)min≥

1

2

，
∴

a＞0 4a-b2 4a ≥ 1 2

，即b²≤2a（a＞0）．
∴实数a，b满足的条件是b²≤2a（a＞0）．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了二次函数的性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．