Question

设M是含有n个正整数的集合，如果M中没有一个元素是M中另外两个不同元素之和，则称集合M是n级好集合．
（Ⅰ）判断集合{1，3，5，7，9}是否是5级好集合，并说明理由；
（Ⅱ）给定正整数a，设集合M={a，a+1，a+2，…，a+k}是好集合，其中k为正整数，试求k的最大值，并说明理由；
（Ⅲ）对于任意n级好集合M，求集合M中最大元素的最小值（用n表示）．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：集合

分析：（Ⅰ）根据所给的新定义进行判断；
（Ⅱ）通过讨论当k=a时，当k≥a+1时的情况，从而求出k的最大值；
（Ⅲ）通过讨论①k为奇数，②k为偶数的情况，从而综合①②，集合M中最大元素小于等于2n-3时，集合M必不是好集合．

解答： 解：（Ⅰ）该集合是5级好集合．
理由：该集合中5个元素均为奇数，而任2个不同元素之和均为偶数，因此该集合中没有一个元素是另外两个不同元素的和．
（Ⅱ）k的最大值为a
证明：当k=a时，集合M中最小的两个元素之和为2a+1，因此集合M中任意两个不同元素之和的最小值为2a+1，而此时集合M中最大元素为2a＜2a+1，因此集合M中任意元素不可能为任意两个不同元素之和，所以k=a时，集合M是好集合．
当k≥a+1时，集合M中的元素2a+1等于另外两个不同元素a和a+1的和，此时集合M不是好集合．
综上，k的最大值为a．
（Ⅲ）集合M中最大元素的最小值为2n-2
证明：当集合M中最大元素为2n-2时，集合M可以为{n-1，n，…，2n-2}，该集合中有n个元素，由（Ⅱ）可知该集合为好集合；
若集合M中最大元素为k，且k≤2n-3，则将1\～k-1分组
①k为奇数，分组如下：（1，k-1），（2，k-2）…，（

k-1

2

，

k+1

2

），共

k-1

2

组，

k-1

2

≤n-2，由于M中有n个元素，所以需要在以上

k-1

2

组选出n-1个数，则必有两个数在同一组，这两个数之和为k，则集合M中的元素k必可表示为其他两个不同元素之和，M不是好集合．
②k为偶数，则有k≤2n-4，此时分组如下：（1，k-1），（2，k-2）…，（

k-2

2

，

k+2

2

），（

k

2

），共

k

2

组，

k

2

≤n-2，由于M中有n个元素，所以需要在以上

k

2

组选出n-1个数，则必有两个数在同一组，这两个数之和为k，则集合M中的元素k必可表示为其他两个不同元素之和，M不是好集合．
综合①②，集合M中最大元素小于等于2n-3时，集合M必不是好集合．
综上，集合M中最大元素的最小值为2n-2．

点评：本题考查了元素和集合的关系，考查了新定义问题，是一道综合题．