题目内容
直线l：y=kx+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于不同的A，B两点．
（1）求AB的长度；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出k的值，若不存在，写出理由．
（1）求AB的长度；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出k的值，若不存在，写出理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题
分析：（1）直接联立直线与双曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求得两交点A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得弦长；
（2）把存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为kOA•kOB=-1，即x1x2+y1y2=0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．
（2）把存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为kOA•kOB=-1，即x1x2+y1y2=0，整理后代入根与系数关系求解实数k的值．
解答：
解：联立方程组
，消去y得（3-k2）x2-2kx-2=0，
∵直线与双曲线有两个交点，
∴
，解得k2＜6且k2≠3，
x1+x2=
，x1x2=
．
（1）|AB|=
|x1-x2|=
=
=
（k2＜6且k2≠3）．
（2）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
则kOA•kOB=-1，即x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，
即（k+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
∴(k+1)•
+k•
+1=0，
整理得k2=1，符合条件，
∴k=±1．
|
∵直线与双曲线有两个交点，
∴
|
x1+x2=
| 2k |
| 3-k2 |
| -2 |
| 3-k2 |
（1）|AB|=
| 1+k2 |
| 1+k2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
=
| 1+k2 |
(
|
=
2
| ||
| |k2-3| |
（2）假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标原点，
则kOA•kOB=-1，即x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，
即（k+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
∴(k+1)•
| -2 |
| 3-k2 |
| 2k |
| 3-k2 |
整理得k2=1，符合条件，
∴k=±1．
点评：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法，训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题．
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