题目内容
已知f（x）=ax2-c，且-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，求f（4）的取值范围．
考点：二次函数的性质
专题：待定系数法
分析：用a，c分别表示f（1），f（2），f（4），设f（4）=kf（1）+lf（2），求出k，l的值，由不等式的性质即可求出f（4）的取值范围．
解答：
解：∵f（x）=ax2-c，
∴f（1）=a-c，f（2）=4a-c，f（4）=16a-c，
令f（4）=kf（1）+lf（2），则
16a-c=k（a-c）+l（4a-c）=（k+4l）a-（k+l）c，
∴
∴
，
即f（4）=（-4）f（1）+5f（2），
∵-4≤f（1）≤-1，
∴4≤-4f（1）≤16，
∵-1≤f（2）≤5，
∴-5≤5f（2）≤25，
∴-1≤（-4）f（1）+5f（2）≤41，
即f（4）的取值范围是：[-1，41]．
∴f（1）=a-c，f（2）=4a-c，f（4）=16a-c，
令f（4）=kf（1）+lf（2），则
16a-c=k（a-c）+l（4a-c）=（k+4l）a-（k+l）c，
∴
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即f（4）=（-4）f（1）+5f（2），
∵-4≤f（1）≤-1，
∴4≤-4f（1）≤16，
∵-1≤f（2）≤5，
∴-5≤5f（2）≤25，
∴-1≤（-4）f（1）+5f（2）≤41，
即f（4）的取值范围是：[-1，41]．
点评：本题主要考查不等式的性质及应用，同时考查数学中的重要数学方法-待定系数法，解题中要防止求出a，c的范围后，再求f（4）的范围，导致范围扩大．
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