Question

已知函数f（x）=x+

1

x

的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），求f（x）在（-∞，1）上的单调性并画出函数的图象．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的图象

专题：作图题,函数的性质及应用

分析：根据函数单调性的定义求出函数f（x）在（-∞，1）上的单调区间，并注意讨论；判断函数的奇偶性，由对称画出函数f（x）的图象．

解答： 解：设x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

1

x1

）-（x₂+

1

x2

）
=（x₁-x₂）（1-

1

x1x2

）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
①当0＜x₁＜x₂＜1时，0＜x₁x₂＜1，1-

1

x1x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在区间（0，1）上是减函数；
②当-1＜x₁＜x₂＜0时，0＜x₁x₂＜1，1-

1

x1x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在区间（-1，0）上是减函数；
③当x₁＜x₂＜-1时，x₁x₂＞1，1-

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间（0，1）上是增函数．
∴函数f（x）在区间（-∞，1）上的单调性是：在（-∞，-1）上是增函数；
在（-1，0）和（0，1）上都是减函数；
∵f（x）=x+

1

x

的定义域为{x|x≠0}，
f（-x）=-x+

1

-x

=-f（x），
∴f（x）为奇函数，图象关于原点对称，
且函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上递增，在（-1，0），（0，1）上递减
故图象如图所示：

点评：本题主要考查了函数的单调性的定义在证明函数的单调性中的应用，画出函数的图象的关键是熟练应用函数的性质．