Question

19．已知双曲线的渐近线方程为5x±12y=0，则以双曲线的顶点为焦点，以双曲线的焦点为顶点的椭圆的离心率为$\frac{12}{13}$．

Answer 1

分析 不妨设双曲线的焦点在x轴上，取a=12，b=5，c=13，椭圆的顶点为双曲线的焦点，焦点为双曲线的顶点，可得a₁=c=13，且椭圆的半焦距c₁=a=12，由此结合椭圆的离心率公式即可得到本题答案．

解答 解：∵双曲线的渐近线方程为5x±12y=0，
∴不妨设双曲线的焦点在x轴上，取a=12，b=5，c=13，
∵椭圆的顶点为双曲线的焦点，焦点为双曲线的顶点，
∴a₁=c=13，且椭圆的半焦距c₁=a=12，
因此，该椭圆的离心率e=$\frac{12}{13}$．
故答案为：$\frac{12}{13}$．

点评 本题给出双曲线的渐近线方程，求与双曲线顶点焦点互换的椭圆的离心率，着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．