Question

14．已知函数f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x，其中a∈R．
（1）是否存在实数a，使得函数y=f（x）在R上单调递增？若存在，求出a的值或取值范围；否则，请说明理由．
（2）若a＜0，且函数y=f（x）的极小值为-$\frac{3}{2}$e，求函数的极大值；
（3）若a=-1时，不等式（m-n）•e≤f（x）≤（m+n）•e^-1在[-1，1]上恒成立，求z=m²+n²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，由f′（x）≥0求得x²+（a+2）x-2a²+4a≥0在x∈R时恒成立，利用△≤0，求得a的范围．
（2）由f′（x）=0求得x₁=-2a，x₂=a-2，列表求出极值，根据函数的极小值为-$\frac{3}{2}$e，求得函数的极大值．
（3）由题意可得函数f（x）在[-1，1]上单调递减，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≥（m-n）•e}\\{f（-1）≤（m+n）{•e}^{-1}}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{m-n≤-5}\\{m+n≥-3}\end{array}\right.$．再利用线性规划的知识求得z=m²+n²的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x，
∴f′（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x+（2x+a）e^x =e^x[x²+（a+2）x-2a²+4a]．
由f′（x）≥0可得e^x[x²+（a+2）x-2a²+4a]≥0．
即x²+（a+2）x-2a²+4a≥0在x∈R时恒成立．
∴△=（a+2）²-4（-2a²+4a）≤0，即（3a-2）²≤0，即a=$\frac{2}{3}$，此时，
f′（x）=（x+$\frac{4}{3}$）²e^x≥0，函数y=f（x）在R上单调递增．
（2）由f′（x）=0可得e^x[x²+（a+2）x-2a²+4a]=0，解之得x₁=-2a，x₂=a-2．
当a＜0时，-2a＞a-2，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：

x	（-∞，a-2）	a-2	（a-2，-2a）	-2a	（-2a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

由条件可知，f（-2a）=-$\frac{3}{2}$e，即3a•e^-2a =-$\frac{3}{2}$e，∴$\left\{\begin{array}{l}{3a=-\frac{3}{2}}\\{-2a=1}\end{array}\right.$，可得a=-$\frac{1}{2}$．
此时，f（x）=（x²-$\frac{1}{2}$x-2）e^x，
极大值为f（a-2）=f（-$\frac{5}{2}$）=$\frac{11}{2}$${e}^{-\frac{5}{2}}$．
（3）由（2）可知a=-1时，f（x）=（x²-x-5）e^x，函数f（x）在[-1，1]上单调递减．
要使不等式（m-n）•e≤f（x）≤（m+n）•e^-1在[-1，1]上恒成立，只需$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≥（m-n）•e}\\{f（-1）≤（m+n）{•e}^{-1}}\end{array}\right.$，
即 $\left\{\begin{array}{l}{（m-n）•e≤-5e}\\{（m+n）{•e}^{-1}≥{3e}^{-1}}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{m-n≤-5}\\{m+n≥-3}\end{array}\right.$．则点（m，n）在如图中所示的阴影部分所表示的平面区域内：

z=m²+n²表示点（0，0）到（m，n）的距离的平方，
最小值为点（0，0）到直线x-y+5=0的距离的平方（$\frac{5}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{25}{2}$，所以z的取值范围是[$\frac{25}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，函数的恒成立问题，简单的线性规划，属于难题．