Question

9．在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2），B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．
（1）求边AB的中线所在的直线方程
（2）求圆E的方程；
（3）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为$\sqrt{2}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）先求出AB的中点M坐标，再求出k_MC，由此能求出AB边中线所在直线方程．
（2）设△ABC的外接圆E的圆心D（a，b），半径为r（r＞0）．则E为：（x-a）²+（y-b）²=r²．由此利用代入法能求出圆E的方程．
（3）设直线l的方程为y=kx，设l与圆E相交于点M，N，过圆心D作直线l的垂线，垂足为P，由此利用两点间距离公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 解：（1）∵A（2，2），B（1，3），
∴AB的中点M坐标为（$\frac{3}{2}，\frac{5}{2}$），（1分）
∵C（1，1），∴k_MC=$\frac{\frac{5}{2}-1}{\frac{3}{2}-1}$=3，（2分）
∴AB边中线所在直线方程为：y-$\frac{5}{2}=3（x-\frac{3}{2}）$，
整理得：3x-y-2=0．（4分）
（2）设△ABC的外接圆E的圆心D（a，b），半径为r（r＞0）．
则E为：（x-a）²+（y-b）²=r²．
由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{（2-a）^2}+{（2-b）^2}={r^2}\\{（1-a）^2}+{（3-b）^2}={r^2}\\{（1-a）^2}+{（1-b）^2}={r^2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\\ r=1\end{array}\right.$，所以圆E的方程：（x-1）²+（y-2）²=1．…（9分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx
如图，设l与圆E相交于点M，N，过圆心D作直线l的垂线，垂足为P，
所以$|MN|=2|PN|=\sqrt{2}$，即$|PN|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
在 Rt△DPN中，|DN|=1，$|PN|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以$|DP|=\sqrt{|DN{|^2}-|PN{|^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又因为圆E的圆心到直线l的距离$|DP|=\frac{|k-2|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$．
所以$|DP|=\frac{|k-2|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得k=1或k=7，
故直线l的方程为y=x或y=7x．…（14分）

点评 本题考查直线方程和圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式、点到直线距离公式、中点坐标公式、斜率公式的合理运用．