Question

2．已知函数f（x）=x³-3ax²-bx，其中a，b为实数．
（1）若f（x）在点（1，2）处的切线与x轴相互平行，求a，b的值；
（2）若f（x）在区间[-1，2]上为减函数，且b=9a，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由题意可得f（1）=2，f′（1）=0，解方程即可得到a，b的值；
（2）求出f（x）的导数，问题转化为3x²-6ax-9a≤0在[-1，2]恒成立，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）函数f（x）=x³-3ax²-bx的导数为f′（x）=3x²-6ax-b，
f（x）在点（1，2）处的切线与x轴相互平行，
可得f（1）=2，f′（1）=0，
即为1-3a-b=2，3-6a-b=0，
解得a=$\frac{4}{3}$，b=-5；
（2）由b=9a，得f（x）=x³-3ax²-9ax，
f′（x）=3x²-6ax-9a，
若f（x）在区间[-1，2]上为减函数，
则3x²-6ax-9a≤0在[-1，2]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+6a-9a≤0}\\{12-12a-9a≤0}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a≥\frac{4}{7}}\end{array}\right.$，
解得：a≥1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查方程思想和转化思想，以及运算能力，属于中档题．