Question

14．设有下面四个命题
p₁：若复数z满足$\frac{1}{z}$∈R，则z∈R；
p₂：关于x的不等式x²-ax+a＞0（a∈R）在R上恒成立的充分不必要条件是a＜0或a＞4；
p₃：（$\frac{16}{81}$）${\;}^{\frac{1}{4}}$+2lg4+lg$\frac{5}{8}$=$\frac{5}{3}$；
p₄：已知函数y=Asin（ωx+φ）在同一周期内，当x=$\frac{π}{3}$时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为y=2sin（3x+$\frac{π}{2}$）．
其中的真命题为（　　）

• A． p₁，p₃
• B． p₁，p₄
• C． p₂，p₃
• D． p₂，p₄

Answer 1

分析 利用复数的运算法则，复数的概念判断p₁的正误；充要条件判断p₂的正误；导数的运算法则判断p₃的正误；三角函数的周期与最值判断p₄的正误；

解答 解：p₁：若复数z满足$\frac{1}{z}$∈R，则z∈R；设z=a+bi，则$\frac{1}{a+bi}$=$\frac{a}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-$\frac{b}{{a}^{2}+{b}^{2}}i$∈R，可得b=0，所以命题正确；
p₂：关于x的不等式x²-ax+a＞0（a∈R）在R上恒成立的充要条件是：a²-4a＜0，即0＜a＜4，原命题说充分不必要条件是a＜0或a＞4；不正确；
p₃：（$\frac{16}{81}$）${\;}^{\frac{1}{4}}$+2lg4+lg$\frac{5}{8}$=$\frac{2}{3}$+4lg2+lg5-3lg2=$\frac{2}{3}$+1=$\frac{5}{3}$；正确；
p₄：已知函数y=Asin（ωx+φ）在同一周期内，当x=$\frac{π}{3}$时有最大值2，当x=0时有最小值-2，那么函数的解析式为y=2sin（3x+$\frac{π}{2}$）．显然不满足题意，所以原命题不正确；
故选：A．

点评 本题考查命题的真假的判断，复数的基本运算，充要条件以及三角函数的简单性质导数的运算法则的应用，是基础题．