Question

9．已知△ABC，若存在△A₁B₁C₁，满足$\frac{cosA}{{sin{A_1}}}=\frac{cosB}{{sin{B_1}}}=\frac{cosC}{{sin{C_1}}}=1$，则称△A₁B₁C₁是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是②：（请写出符合要求的条件的序号）
①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°； ③A=75°，B=75°，C=30°．

Answer 1

分析 满足$\frac{cosA}{{sin{A_1}}}=\frac{cosB}{{sin{B_1}}}=\frac{cosC}{{sin{C_1}}}=1$，则有A₁=$\frac{π}{2}$±A，B₁=$\frac{π}{2}$±B，C₁=$\frac{π}{2}$±C逐一验证选项即可．

解答 解：满足$\frac{cosA}{{sin{A_1}}}=\frac{cosB}{{sin{B_1}}}=\frac{cosC}{{sin{C_1}}}=1$，则有A₁=$\frac{π}{2}$±A，B₁=$\frac{π}{2}$±B，C₁=$\frac{π}{2}$±C．
对于①，cosA=cos90°=0，显然不成立．
对于②，可取${A}_{1}=1{5}^{0}，{B}_{1}=3{0}^{0}，{C}_{1}=13{5}^{0}$满足题意．
对于③，经验证不满足．
故答案为：②．

点评 本题考查了推理的能力，根据条件逐一验证，是一种很好的做客观题的方法，属于中档题