Question

20．已知函数f（x）=|2x+1|+|3x-2|，且不等式f（x）≤5的解集为$\{x|-\frac{4a}{5}≤x≤\frac{3a}{5}\}，a，b∈R$．
（1）求a，b的值；
（2）对任意实数x，都有|x-a|+|x+b|≥m²-3m成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析 （1）通过分类讨论，化简不等式求出解集，利用已知条件，求解a，b．
（2）由（1）知a=1，b=2，求出绝对值的最值，得到m²-3m+5≤3，然后求解实数m的最大值．

解答 解：（1）若x$≤-\frac{1}{2}$，原不等式可化为-2x-1-3x+2≤5，解得x≥-$\frac{4}{5}$，即-$\frac{4}{5}$$≤x≤-\frac{1}{2}$；
若-$\frac{1}{2}＜x＜\frac{2}{3}$，原不等式可化为2x+1-3x+2≤5，解得x≥-2，即-$\frac{1}{2}＜x＜\frac{2}{3}$；
若x≥$\frac{2}{3}$，原不等式可化为2x+1+3x-2≤5，解得x≤$\frac{6}{5}$，即$\frac{2}{3}≤x≤\frac{6}{5}$
综上所述，不等式|2x+1|+|3x-2|≤5的解集为[-$\frac{4}{5}$，$\frac{6}{5}$]，所以a=1，b=2．
（2）由（1）知a=1，b=2，所以|x-a|+|x+b|=|x-1|+|x+2|≥|x-1-x-2|=3，
故m²-3m≤3，m²-3m-3≤0，所以$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$≤m≤$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，即实数m的最大值为$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$．

点评 本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．