如图.长方体ABCD-A1B1C1D1中.AB=AD.点P为DD1的中点．(1)求证:直线BD1∥平面PAC,(2)求证:平面PAC⊥平面BDD1．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD，点P为DD₁的中点．
（1）求证：直线BD₁∥平面PAC；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDD₁．

分析（1）设AC和BD交于点O，连PO，则PO∥BD₁，由此能证明直线BD₁∥平面PAC．
（2）推导出AC⊥BD，DD₁⊥AC，由此能证明平面PAC⊥平面BDD₁．

解答证明：（1）设AC和BD交于点O，连PO，
由P，O分别是DD₁，BD的中点，故PO∥BD₁，
因为PO?平面PAC，BD₁?平面PAC，
所以直线BD₁∥平面PAC
（2）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，
底面ABCD是正方形，则AC⊥BD
又DD₁⊥面ABCD，则DD₁⊥AC，
所以AC⊥面BDD₁，则平面PAC⊥平面BDD₁．

点评本题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对基本定理的记忆和灵活运用．

练习册系列答案

15．将直线l向左平移$\sqrt{3}$个单位，再向上平移1个单位后所得直线与l重合，则直线l的倾斜角为（　　）

12．在直角△ABC 中，∠A=90°，M 是BC 的中点，$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{CN}$=-$\frac{5}{13}$$\overrightarrow{BC}$²，则tan∠ABC=（　　）

$\frac{\sqrt{17}}{3}$

19．若$\overrightarrow{a}$=（2，3），$\overrightarrow{b}$=（-4，7），$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$=0，则$\overrightarrow{c}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为$-\frac{\sqrt{65}}{5}$．

9．已知△ABC，若存在△A₁B₁C₁，满足$\frac{cosA}{{sin{A_1}}}=\frac{cosB}{{sin{B_1}}}=\frac{cosC}{{sin{C_1}}}=1$，则称△A₁B₁C₁是△ABC的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是②：（请写出符合要求的条件的序号）
①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°； ③A=75°，B=75°，C=30°．

16．已知函数f（x）=sin²x+sin²（x+α）+sin²（x+β），其中α，β是适合0≤α≤β≤π的常数
（1）若$α=\frac{π}{4}，β=\frac{3π}{4}$，求函数f（x）的最小值；
（2）f（x）是否可能为常值函数？若可能，求出f（x）为常值函数时，α，β的值，如果不可能，请说明理由．

13．在下列结论中，正确结论的序号为①②④．
①函数y=sin（kπ-x）（k∈Z）为奇函数；
②若tan（π-x）=2，则${cos^2}x=\frac{1}{5}$；
③函数$y=tan（{2x+\frac{π}{6}}）$的图象关于点$（{\frac{π}{12}，0}）$对称；
④函数$y=cos（{2x+\frac{π}{3}}）$的图象的一条对称轴为$x=-\frac{2π}{3}$．

14．下面使用类比推理正确的是（　　）

	A．	直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c．类推出：向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$，若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，$\overrightarrow b$∥$\overrightarrow c$，则$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow c$
	B．	同一平面内，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b．类推出：空间中，直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b
	C．	若a，b∈R，则a-b＞0⇒a＞b．类推出：若a，b∈C，则a-b＞0⇒a＞b
	D．	由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．

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