Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA1=

3

，BC=2，点M是A₁B的中点，点N是B₁C的中点，连接MN．
（1）证明：MN⊥平面ABB₁A₁；
（2）若点P是CC₁的中点，求四面体B₁-APB的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由题可得AA₁⊥A₁C₁且A₁B₁⊥A₁C₁，又因为AA₁∩A₁B₁=A，所以A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，继而得到MN⊥平面ABB₁A₁；
（2）由于VB1-APB=VP-ABB1，所以先求△ABB₁的面积，由（1）知A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，三棱锥的高是A₁C₁，所以根据三棱锥的体积公式可得体积．

解答： 解：（1）证明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AA₁⊥底面A₁B₁C₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁C₁．
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
AB=1，AC=

3

，BC=2，
∴A₁B₁⊥A₁C₁，
又∵AA₁∩A₁B₁=A，
∴A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，
又∵点M是A₁B的中点，点N是B₁C的中点，
∴MN∥A₁C₁，
∴MN⊥平面ABB₁A₁；
（2）由（1）知，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，
∴三棱锥P-ABB₁的高是A₁C₁，
∴三棱锥P-ABB₁的体积为：

1

3

×S△ABB1×A1C1
=

1

3

×

1

2

×AB×AA1×A1C1=

1

3

×

1

2

×1×

3

×

3

=

1

2

又∵VB1-APB=VP-ABB1，
∴四面体B₁-APB的体积为

1

2

．

点评：证明线面垂直关键是证明已知直线与面内的两条相交直线都垂直即可，求三棱锥的体积时若不易求出一般是先观察一下是否换一个底面积与高都容易求的定点．