Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x+2|+|2x-4|
（1）求f（x）＜6的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≥m²-3m的解集是R，求m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（I）分当x≥2时、当2＞x＞-2时，当x≤-2时三种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
（II）由函数f（x）的图象求得f（x）=|x+2|+|2x-4|的最小值为4，可得 m²-3m≤4，由此求得m的范围．

解答： 解：（I）由题设知：当x≥2时，不等式等价与x+2+2x-4＜6，即2≤x＜

8

3

．
当2＞x＞-2时，不等式等价与x+2+4-2x＜6，即2＞x＞0．
当x≤-2时，不等式等价于-x-2+4-2x＜6，x无解．
综上可得，满足不等式的解是{x|0＜x＜

8

3

 }．
（II）由函数f（x）的图象可得f（x）=|x+2|+|2x-4|的最小值为4，
则由题意可得 m²-3m≤4，解之得，-1≤m≤4．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．