Question

已知数列{a_n}是首项为-1，公差d≠0的等差数列，且它的第2、3、6项依次构成等比数列{b_n}的前3项．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若C_n=a_n•b_n，求数列{C_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据已知条件利用等差数列\等比数列的性质求出公差d，由此能求出{a_n}的通项公式．
（2）由（1）和题设条件能求出数列{b_n}的通项公式，再利用错位相减法能求出数列{C_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}是首项为-1，公差d≠0的等差数列，
且它的第2、3、6项依次构成等比数列{b_n}的前3项，
∴a32=a2•a6，即（-1+2d）²=（-1+d）（-1+5d），
解得d=0（舍）或d=2，
∴a_n=2n-3．
（2）由题意知b₁=a₂=1，b₂=a₃=3，
∴q=

b2

b1

=3，
∴bn=3n-1，
∴c_n=a_n•b_n=（2n-3）•3^n-1，
∴S_n=（-1）•3⁰+1•3+3•3²+…+（2n-3）•3^n-1，①
3S_n=（-1）•3+1•3²+3•3³+…+（2n-3）•3ⁿ，②
①-②，得：
-2S_n=-1+2×3+2×3²+2×3³+…+2×3^n-1-（2n-3）•3ⁿ
=-1+2×

3(1-3n-1)

1-3

-（2n-3）•3ⁿ
=-4+（-2n+4）•3ⁿ，
∴Sn=(n-2)•3n+2．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，要熟练掌握等差数列、等比数列的性质，注意错位相减法的合理运用．