题目内容
若x+
≥4在x∈[3，4]内恒成立，则实数m的取值范围是 ．
| m |
| x |
考点：基本不等式
专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用
分析：x+
≥4在x∈[3，4]内恒成立?m≥-x2+4x在x∈[3，4]内恒成立?m≥[-x2+4x]max，x∈[3，4]．利用二次函数的单调性即可得出．
| m |
| x |
解答：
解：x+
≥4在x∈[3，4]内恒成立?m≥-x2+4x在x∈[3，4]内恒成立
?m≥[-x2+4x]max，x∈[3，4]．
令f（x）=-x2+4x=-（x-2）2+4，x∈[3，4]．
由二次函数的单调性可知：函数f（x）在区间[3，4]上单调递减．
∴f（x）max=f（3）=-（3-2）2+4=3．
∴实数m的取值范围是[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．
| m |
| x |
?m≥[-x2+4x]max，x∈[3，4]．
令f（x）=-x2+4x=-（x-2）2+4，x∈[3，4]．
由二次函数的单调性可知：函数f（x）在区间[3，4]上单调递减．
∴f（x）max=f（3）=-（3-2）2+4=3．
∴实数m的取值范围是[3，+∞）．
故答案为：[3，+∞）．
点评：本题考查了恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性，属于中档题．
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