Question

已知函数f（x）=e^x-ax-1（e为自然对数的底数），a＞0．
（Ⅰ）若函数f（x）恰有一个零点，证明：a^a=e^a-1；
（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值集合．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的零点

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，通过导数为0，判断函数的单调性，利用函数的最小值证明a^a=e^a-1；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）函数的最小值，结合f（x）≥0对任意x∈R恒成立，构造函数，求出新函数的最小值利用恒成立，求实数a的取值集合．

解答： （Ⅰ）证明：由f（x）=e^x-ax-1，得f'（x）=e^x-a．…（1分）
由f'（x）＞0，即e^x-a＞0，解得x＞lna，同理由f'（x）＜0解得x＜lna，
∴f（x）在（-∞，lna）上是减函数，在（lna，+∞）上是增函数，
于是f（x）在x=lna取得最小值．
又∵函数f（x）恰有一个零点，则f（x）_min=f（lna）=0，…（4分）
即e^lna-alna-1=0．…（5分）
化简得：a-alna-1=0，即alna=a-1，于是lna^a=a-1，
∴a^a=e^a-1． …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（x）在x=lna取得最小值f（lna），
由题意得f（lna）≥0，即a-alna-1≥0，…（8分）
令h（a）=a-alna-1，则h'（a）=-lna，
由h'（a）＞0可得0＜a＜1，由h'（a）＜0可得a＞1．
∴h（a）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即h（a）_max=h（1）=0，
∴当0＜a＜1或a＞1时，h（a）＜0，
∴要使得f（x）≥0对任意x∈R恒成立，a=1．
∴a的取值集合为{1}…（13分）

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查逻辑推理能力，构造新函数是解题本题的关键．