Question

定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x₀（a＜x₀＜b），满足f（x₀）=

f(b)-f(a)

b-a

，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x₀是它的一个均值点．例如y=|x|是[-2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x²-mx-1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的概念及其构成要素

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）=x²-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，故有x²-mx-1=

f(1)-f(-1)

1-(-1)

在（-1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（-1，1）内，即可求出实数m的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）=x²-mx-1是区间[-1，1]上的平均值函数，
∴关于x的方程x²-mx-1=

f(1)-f(-1)

1-(-1)

在（-1，1）内有实数根．
即x²-mx-1=-m在（-1，1）内有实数根．
即x²-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1．
又1∉（-1，1）
∴x=m-1必为均值点，
即-1＜m-1＜1⇒0＜m＜2．
∴所求实数m的取值范围是（0，2）．
故答案为：（0，2）

点评：本题主要是在新定义下考查二次方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义做题．