Question

记公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=9，a₃，a₅，a₈成等比数列．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ） 若c_n=n²+λa_n，n=1，2，3，…，问是否存在实数λ，使得数列{c_n}为单调递增数列？若存在，请求出λ的取值范围；不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列S₃=9，a₃，a₅，a₈成等比数列，列出关系式，求出首项与公差，然后求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ） c_n=n²+λa_n，n=1，2，3，…，存在实数λ，使得数列{c_n}为单调递增数列，利用作差法，c_n+1-c_n＞0，得到λ＞-2n-1对一切n∈N*恒成立，求出λ的范围即可．．

解答： 解：（Ⅰ） 由S3=9，a52=a3•a8，
得：

3a1+ 3×2 2 d=9 (a1+4d)2=(a1+2d)•(a1+7d)

解得：a₁=2，d=1．
∴a_n=n+1，Sn=

n(2+n+1)

2

=

n2

2

+

3

2

n．  …（5分）
（Ⅱ） 由题知c_n=n²+λ（n+1）．   …（6分）
若使{c_n}为单调递增数列，
则c_n+1-c_n=（n+1）²+λ（n+2）-[n²+λ（n+1）]
=2n+1+λ＞0对一切n∈N*恒成立，
即：λ＞-2n-1对一切n∈N^*恒成立，…10分
又ϕ（n）=-2n-1是单调递减的，
∴当n=1时，ϕ（n）_max=-3，
∴λ＞-3．    …（12分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，数列的函数特征，函数恒成立的应用，考查计算能力．