Question

设各项为正的无穷数列{x_n}满足lnx_n+

1

xn+1

＜1（n∈N₊），证明，x_n≤1（n∈N₊）．

Answer 1

考点：数列的极限

专题：导数的综合应用

分析：令f（x）=lnx+

1

x

，（x＞0）．利用导数研究函数的单调性可得f（x）≥1．下面用反证法证明：x₁≤1，假设x₁＞1，由于ln

xn

b

+

b

xn

≥1，可得

b

xn

＞lnb+

1

xn+1

，可得1=

b

x1

＞lnb+

1

x2

＞(1+

1

b

+

1

b2

+…)lnb=

1

1- 1 b

lnb，得出矛盾即可．

解答： 证明：令f（x）=lnx+

1

x

，（x＞0）．
则f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
令f′（x）＞0，解得x＞1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，此时函数f（x）单调递减．
因此x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（1）=1，∴f（x）≥1．
下面用反证法证明：x₁≤1，假设x₁＞1，
则ln

xn

b

+

b

xn

≥1，∴

b

xn

＞lnb+

1

xn+1

，
∴1=

b

x1

＞lnb+

1

x2

＞lnb+

1

b

(lnb+

1

x3

)＞(1+

1

b

+

1

b2

+…)lnb=

1

1- 1 b

lnb，
化为lnb+

1

b

＜1，与f（b）≥1矛盾，因此假设不成立，故x₁≤1．
同理可证：x_n≤1（n=2，3，…）．
∴x_n≤1（n∈N₊）．

点评：本题考查了导数研究函数的单调性、反证法，考查了构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．