Question

若不等式（log 

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x）²-6log₄x+2≤0的解集为M，当x∈M时，求f（x）=a•2^x+3+4^x的最小值．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：求解对数不等式得到集合M，进一步求得2^x的范围，然后令t=2^x换元，由对称轴的范围分类求得函数f（x）的最小值．

解答： 解：由（log 

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x）²-6log₄x+2≤0，得
(log2x)2-3log2x+2≤0，即1≤log₂x≤2，
∴2≤x≤4．
则M=[2，4]，
当x∈M时，2^x∈[4，16]，
f（x）=a•2^x+3+4^x=（2^x）²+8a•2^x．
令t=2^x∈[4，16]，
则y=f（x）=t²+8at（4≤t≤16），
对称轴方程为t=-4a．
当-4a≤4，即a≥-1时，y_min=y_t=4=16+32a；
当-4a≥16，即a≤-4时，y_min=y_t=16=256+128a；
当4＜-4a＜16，即-4＜a＜-1时，ymin=yt=-4a=-16a2．
综上，f(x)min=

16+32a，a≥-1 256+128a，a≤-4 -16a2，-4＜a＜-1

．

点评：本题考查了对数不等式的解法，考查了利用换元法求二次函数的最值，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．