Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值是$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，设O（ 0，0），$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，0），$\overrightarrow{c}$=（x，y），由（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，得（1-x）（1-2x）+（$\sqrt{3}$-2y）（-y）=0．整理得C的曲线方程是一个圆，由此能求出|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|的最小值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=1，
$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{b}$=（1，0），$\overrightarrow{c}$=（x，y），由（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，得（1-x）（1-2x）+（$\sqrt{3}$-2y）（-y）=0．
整理得方程C的曲线方程为：（x-$\frac{3}{4}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²=$\frac{1}{2}$，
C（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{（1-x）^{2}+（\sqrt{3}-y）^{2}}$表示A（1，$\sqrt{3}$）到圆上的点（x，y）的距离，最小值为AC-r=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积的运算，圆外的点到圆上点距离最小值的计算；属于中档题．