Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面,AC=BC,点D是AB的中点．

(1)求证：BC₁∥平面CA₁D；
(2)求证：平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B；
(3)若底面ABC为边长为2的正三角形，BB₁=求三棱锥B₁-A₁DC的体积．

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析；（3）1.

试题分析：证明（1）连接AC₁交A₁C于点E，连接DE
因为四边形AA₁C₁C是矩形，知E为AC₁的中点
又D是AB的中点，得到DE∥BC₁，
从而可得BC₁∥面CA₁.
证明（2）由AC=BC，D是AB的中点，得AB⊥CD，
由AA₁⊥面ABC，得AA₁⊥CD，
从而CD⊥面AA₁B₁B，进一步得平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B.
（3）利用，可求得体积.
试题解析：证明（1）连接AC₁交A₁C于点E，连接DE
因为四边形AA₁C₁C是矩形，则E为AC₁的中点
又D是AB的中点，DE∥BC₁，
又DE面CA₁D，BC₁面CA₁D，BC₁∥面CA₁    (４分)
证明（2）AC=BC，D是AB的中点，AB⊥CD，
又AA₁⊥面ABC，CD面ABC，AA₁⊥CD，
AA₁∩AB=A，CD⊥面AA₁B₁B，CD面CA₁D，
平面CA₁D⊥平面AA₁B₁B        (８分)

（3）解：,则（2）知CD⊥面ABB₁B，所以高就是CD=，BD=1，BB₁=，所以A₁D=B₁D=A₁B₁=2,,      (1２分)