Question

如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．

(1)求证：GH∥平面CDE；
(2)若CD＝2，DB＝4，求四棱锥F—ABCD的体积．

Answer 1

（1）见解析   （2）16

(1)证明　方法一　∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC.
又EF＝AD＝BC，∴四边形EFBC是平行四边形，
∴H为FC的中点．
又∵G是FD的中点，∴HG∥CD.
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE，
∴GH∥平面CDE.

方法二　连接EA，∵ADEF是正方形，
∴G是AE的中点．
∴在△EAB中，GH∥AB.
又∵AB∥CD，∴GH∥CD.
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE，
∴GH∥平面CDE.
(2)解　∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，
且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD.
∵AD＝BC＝6，∴FA＝AD＝6.
又∵CD＝2，DB＝4，CD²＋DB²＝BC²，∴BD⊥CD.
∵S_?ABCD＝CD·BD＝8，
∴V_F—ABCD＝S_?ABCD·FA＝×8×6＝16.