Question

已知向量

a

=（-cosx，sinx），

b

=（cosx，cosx），设f（x）=

a

•

b

+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据平面向量的数量积的坐标运算，并结合二倍角公式和辅助角公式，得到f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）-

1

2

，然后，借助于周期公式进行求解；
（2）直接结合三角函数的单调性进行求解即可．

解答： 解：（1）∵

a

=（-cosx，sinx），

b

=（cosx，cosx），
∴f（x）=

a

•

b

+1
=sinxcosx-cos²x
=

2

2

sin（2x-

π

4

）-

1

2

，
∴f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）-

1

2

，
∴T=

2π

2

=π，
∴函数f（x）的最小正周期π；
（2）∵f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）-

1

2

，
∴

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
∴

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ，
∴函数f（x）的单调减区间[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]，（k∈Z）．

点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等公式、辅助角公式等知识，属于中档题．