Question

将一个边长为4的正方形铁片的四角各截去一个边长为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒．
（1）试把方盒的容积V表示为x的函数．
（2）x多大时，方盒的容积V最大？

Answer 1

考点：基本不等式,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）由题设知这个无盖方盒的底面是边长为4-2x的正方形，高为x的正四棱柱，由此能把方盒的容积V表示为x的函数．
（2）由（1）知V=（4-2x）²x，0＜x＜2，求导数，令V′=0，得x₁=

2

3

，x₂=2（舍）．由此得到函数的单调增和单调减区间，能求出这个方盒容积的最大值和取到最大值时x的值．

解答： 解：由于是在边长为4的正方形铁片的四角各截去一个边长为x的小正方形做成一个无盖方盒，
所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为4-2x，高为x，
（1）所以，无盖方盒的容积V=（4-2x）²x，0＜x＜2，
（2）∵V=（4-2x）²x，∴V′=12x²-32x+16；
令：V′（x）=0，即12x²-32x+16=0，
∴x=

2

3

或x=2，(0＜x＜2)，
∴x=

2

3

；
当x∈(0，

2

3

)时，V′（x）＞0；    
当x∈(

2

3

，2)时，V′（x）＜0．  
因此，x=

2

3

是函数f（x）的极大值点，也就是最大值点，且最大值为

128

27

．

点评：本题考查方盒容积的求法，考查利用导数求方盒容积的最大值，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．