题目内容
16．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为$\frac{3}{4}$，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．（Ⅰ）求甲通过自主招生初试的概率；
（Ⅱ）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；
（Ⅲ）记甲答对试题的个数为X，求X的分布列及数学期望．
分析 （Ⅰ）利用互斥事件概率加法公式能求出甲通过自主招生初试的概率．
（Ⅱ）利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式求出乙通过自主招生初试的概率，从而得到甲通过自主招生初试的可能性更大．
（Ⅲ）依题意，X的可能取值为2，3，4，分别出相应的概率，由此能求出X的概率分布列和数学期望．
解答 解：（Ⅰ）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，
在这8个试题中甲能答对6个，
∴甲通过自主招生初试的概率$P=\frac{C_6^3C_2^1}{C_8^4}+\frac{C_6^4}{C_8^4}=\frac{11}{14}$．…（3分）
（Ⅱ）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．
在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为$\frac{3}{4}$，
∴乙通过自主招生初试的概率$P'=C_4^3{（{\frac{3}{4}}）^3}（{\frac{1}{4}}）+{（{\frac{3}{4}}）^4}=\frac{189}{256}$；
∵$\frac{11}{14}＞\frac{189}{256}$，∴甲通过自主招生初试的可能性更大．…（7分）
（Ⅲ）依题意，X的可能取值为2，3，4，
$P（{X=2}）=\frac{C_6^2C_2^2}{C_8^4}=\frac{3}{14}$，
$P（{X=3}）=\frac{C_6^3C_2^1}{C_8^4}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$，
$P（{X=4}）=\frac{C_6^4}{C_8^4}=\frac{3}{14}$，
∴X的概率分布列为：
| X | 2 | 3 | 4 |
| P | $\frac{3}{14}$ | $\frac{4}{7}$ | $\frac{3}{14}$ |
点评 本题考查概率的求法，离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础苦衷知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
| A． | 直线θ=$\frac{π}{3}$成轴对称 | B． | 直线θ=$\frac{3π}{4}$成轴对称 | ||
| C． | 点（2，$\frac{π}{3}$）成中心对称 | D． | 极点成中心对称 |
| A． | a∈（0，3） | B． | a∈（-∞，3] | C． | a∈（3，+∞） | D． | a∈[3，+∞） |
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要 |
| A． | （3，1） | B． | （-1，3） | C． | （3，-1） | D． | （2，4） |