Question

11．使命题p：?x₀∈R₊，x₀ln x₀+x₀²-ax₀+2＜0成立为假命题的一个充分不必要条件为（　　）

• A． a∈（0，3）
• B． a∈（-∞，3]
• C． a∈（3，+∞）
• D． a∈[3，+∞）

Answer 1

分析 命题p：?x₀∈R₊，x₀ln x₀+x₀²-ax₀+2＜0成立为假命题，可得?x∈R，xlnx+x²-ax+2≥0为真命题．化为a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$=f（x），x＞0．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：命题p：?x₀∈R₊，x₀ln x₀+x₀²-ax₀+2＜0成立为假命题，
则?x∈R₊，xlnx+x²-ax+2≥0为真命题．
∴a≤lnx+x+$\frac{2}{x}$=f（x），x＞0．
则f′（x）=$\frac{1}{x}$+1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，
可得x=1时，函数f（x）取得极小值即最小值．f（1）=3．
∴a≤3．
因此使命题p：?x₀∈R₊，x₀ln x₀+x₀²-ax₀+2＜0成立为假命题的一个充分不必要条件为a∈（0，3）．
故选：A．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．