题目内容
1．已知曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ-12，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）．（I）写出直线l的一般方程与曲线C的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；
（II）将曲线C向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D，设曲线D经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\ y'=2y\end{array}\right.$得到曲线E，设曲线E上任一点为M（x，y），求$\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y$的取值范围．
分析 （I）直线l的参数方程消去数t，能求出直线l的一般方程，由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，能求出曲线C的直角坐标方程，由圆心（2，3）到直线l的距离d=r，得到直线l和曲线C相切．
（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\ y'=2y\end{array}\right.$，得到曲线E的方程为${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$，从而点M的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），由此能求出$\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y$的取值范围．
解答 解：（I）∵直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数）．
∴消去数t，得直线l的一般方程为$\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}-1=0$，
∵曲线C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ-12，
∴由ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，
得曲线C的直角坐标方程为（x-2）2+（y-3）2=1．
∵圆心（2，3）到直线l的距离d=$\frac{{|{2\sqrt{3}+3-2\sqrt{3}-1}|}}{{\sqrt{{{（{\sqrt{3}}）}^2}+1}}}=1$=r，
∴直线l和曲线C相切．
（II）曲线D为x2+y2=1．
曲线D经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}x'=x\\ y'=2y\end{array}\right.$，得到曲线E的方程为${x^2}+\frac{y^2}{4}=1$，
则点M的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），
∴$\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y=\sqrt{3}cosθ+sinθ=2sin（{θ+\frac{π}{3}}）$，
∴$\sqrt{3}x+\frac{1}{2}y$的取值范围为[-2，2]．
点评 本题考查直线的一般方程和曲线的直角坐标方程的求法，考查直线与圆的位置关系的判断，考查代数式的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
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