Question

4．在平面直角坐标系xoy中，已知直线$l：x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}y+2$，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出直线l的极坐标方程；
（2）设直线l与曲线$\left\{\begin{array}{l}x={m^2}\\ y=2m\end{array}\right.$（m为参数）相交于A，B两点，求点P（2，0）到两点A，B的距离之积．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinρ，能求出直线l的极坐标方程．
（2）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{t}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数），点A，B都在直线l上，曲线$\left\{\begin{array}{l}x={m^2}\\ y=2m\end{array}\right.$（m为参数）化为普通方程为y²=4x，将直线l的参数方程代入抛物线方程y²=4x，得3t²-8t-32=0，由此能求出点P（2，0）到两点A，B的距离之积．

解答 解：（1）∵直线$l：x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}y+2$，
∴直线l的极坐标方程为$\sqrt{3}ρcosθ-ρsinθ-2\sqrt{3}=0$．
（2）直线$l：x=\frac{{\sqrt{3}}}{3}y+2$，即y=$\sqrt{3}$（x-2），
其参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{t}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数），
∵点A，B都在直线l上，∴设它们的参数分别为t₁，t₂，
则A（2+$\frac{1}{2}{t}_{1}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}_{1}$），B（2+$\frac{1}{2}{t}_{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}{t}_{2}$），
将曲线$\left\{\begin{array}{l}x={m^2}\\ y=2m\end{array}\right.$（m为参数）的参数方程化为普通方程为y²=4x，
将直线l的参数方程代入抛物线方程y²=4x，
整理，得3t²-8t-32=0，①
设t₁，t₂是方程①的解，则${t}_{1}{t}_{2}=-\frac{32}{3}$，
∴点P（2，0）到两点A，B的距离之积|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{32}{3}$．

点评 本题考查直线的极坐标方程的求法考查点到两点的距离之积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．