Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=

5

，BC=4，A₁在底面ABC的射影是线段BC的中点O．
（Ⅰ）证明：在侧棱AA₁上存在一点E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的长；
（Ⅱ）求二面角A₁-B₁C-C₁的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于点E，因为AA₁∥BB₁，所以，OE⊥BB₁，证明BC⊥OE，可得结论，AE=

AO2

AA1

；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面B₁CC₁的一个法向量、平面A₁B₁C的法向量，利用向量的夹角公式求二面角A₁-B₁C-C₁的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：连接AO，在△AOA₁中，作OE⊥AA₁于点E，因为AA₁∥BB₁，所以，OE⊥BB₁
因为A₁O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA₁O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB₁CC1
又AO=

AB2-BO2

=1，AA₁=

5

得AE=

AO2

AA1

=

5

5

．
（Ⅱ）解：如图，分别以OA，OB，OA₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，-2，0），A₁（0，0，2）
由

AE

=

1

5

AA1

，得点E的坐标是（

4

5

，0，

2

5

），
由（Ⅰ）知平面B₁CC₁的一个法向量为

OE

=（

4

5

，0，

2

5

）
设平面A₁B₁C的法向量是

n

=（x，y，z），
由

n •AB =0 n • A1C =0

得

x+2y=0 y+z=0

可取

n

=（2，1，-1），
所以cos＜

OE

，

n

＞=

OE • n

|OE|•|n|

=

30

10

．

点评：本题考查线面垂直，考查二面角A₁-B₁C-C₁的余弦值，考查向量法的运用，属于中档题．