Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点是F，准线是l，经过C上两点A、B分别作C的切线l₁、l₂．
（1）设点A（x₁，

x12

2p

），求直线l₁的方程（用x₁和p表示）；
（2）设l₁与l₂的交点E在l上，若△ABE面积S的最小值是4，求C的方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，求导y′|_x=x1=

1

p

x₁，从而写出直线l₁的方程；
（2）同理写出直线l₂的方程为2x₂x-2py-

x

2 2

=0，联立可得

2x1x-2py-x12=0 2x2x-2py- x 2 2 =0 y=- p 2

从而可推得p²=-x₁x₂，可知直线AB过点F，从而当AB∥l时，面积最小，从而求出p，得到C的方程．

解答： 解：（1）∵x²=2py（p＞0），
∴y=

1

2p

x²，y′=

1

p

x，
则y′|x=x1=

1

p

x₁，
则直线l₁的方程为y-

x12

2p

=

1

p

x₁（x-x₁），
即2x₁x-2py-

x

2 1

=0．
（2）由题意，
直线l₂的方程为2x₂x-2py-

x

2 2

=0，
设点E的坐标为（x，y），则

2x1x-2py-x12=0 2x2x-2py- x 2 2 =0 y=- p 2

则可推出x=

x 2 1 -p2

2x1

=

x 2 2 -p2

2x2

=

x1+x2

2

，
则p²=-x₁x₂，
则直线AB的方程为y-

x12

2p

=

x1+x2

2p

（x-x₁），
且

p

2

-

x12

2p

=

x1+x2

2p

（0-x₁），
故直线AB恒过点F，
则当AB∥l时，面积最小，
即

1

2

p•2p=4，
解得，p=2，
故C的方程为x²=4y．

点评：本题考查了圆锥曲线中线与曲线的位置关系，属于中档题．