Question

已知点A（0，2），椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，直线AF的斜率为-

2 3

3

，以焦点F和短轴两端点为顶点的三角形周长为6，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程
（2）设过点A的定直线l与C交于P，Q两点，当△OPQ的面积为1时，求定直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）运用斜率公式，求出c，再由周长为6，得到a+b=3，再由a，b，c的关系式，解方程，即可得到a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设直线l：y=kx+2，联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式和点到直线的距离公式，再由三角形的面积公式，列出方程，解出k，即可得到直线方程．

解答： 解：（1）设右焦点为F（c，0），由于直线AF的斜率为-

2 3

3

，
即有

2

-c

=-

2 3

3

，解得，c=

3

，则a²-b²=c²=3，
又以焦点F和短轴两端点为顶点的三角形周长为6，
则2a+2b=6，即有a+b=3，则a+b=1，解得a=2，b=1．
则椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设直线l：y=kx+2，联立椭圆方程，消去y，得到
（1+4k²）x²+16kx+12=0，
则有△＞0，即（16k）²-48（1+4k²）＞0，①
x₁+x₂=-

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

，
弦长|PQ|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( -16k 1+4k2 )2- 48 1+4k2

=

1+k2

•

64k2-48

1+4k2

，
O到直线l的距离为d=

2

1+k2

，
则有△OPQ的面积为

1

2

d•|PQ|=

64k2-48

1+4k2

=1，
解得，k²=

7

4

，即有k=±

7

2

，代入①，检验成立．
故直线l的方程为：y=±

7

2

x+2．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．