Question

求证：对任意的整数k，

sin( 2k+1 2 π-α)×cos( 2k+1 2 π+α)

sin( 2k+3 2 π+α)×cos( 2k-1 2 π-α)

=-1．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：由诱导公式分k为奇数和偶数分别化简可得．

解答： 证明：化简可得左边=

sin(kπ+ π 2 -α)cos(kπ+ π 2 +α)

sin(kπ+ 3π 2 +α)cos(kπ- π 2 -α)

，
当k为偶数时，上式=

sin( π 2 -α)cos( π 2 +α)

sin( 3π 2 +α)cos(- π 2 -α)

=

cosα(-sinα)

-cosα(-sinα)

=-1；
当k为奇数时，上式=

-sin( π 2 -α)[-cos( π 2 +α)]

-sin( 3π 2 +α)[-cos(- π 2 -α)]

=

cosα(-sinα)

-cosα(-sinα)

=-1
综上可得，任意的整数k，

sin( 2k+1 2 π-α)×cos( 2k+1 2 π+α)

sin( 2k+3 2 π+α)×cos( 2k-1 2 π-α)

=-1．

点评：本题考查诱导公式，涉及分类讨论的思想，属基础题．