Question

已知函数f（x）=sin²x+acosx-

1

2

a-

3

2

，x∈R
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若f（x）的最大值为1，求实数a的值；
（Ⅲ）对于任意x∈[0，

π

3

]，不等式f（x）≥

1

2

-

a

2

都成立，求实数a的范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）当a=1时，对f（x）进行配方，根据二次函数的性质即可求得其最小值；
（Ⅱ）配方后得到f（x）=-（cosx-

a

2

）²+

a2-2a-2

4

，再分类讨论，继而求出a的值；
（Ⅲ）令t=cosx，t∈[

1

2

，1]，分离参数，利用导数求出函数最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=sin²x+cosx-2=-cos²x+cosx-1=-（cosx-

1

2

）²-

3

4

，
∵-1≤cosx≤1，
∴当cosx=-1时，函数有最小值，
∴f（x）_min=-（-1-

1

2

）²-

3

4

=-3
（Ⅱ）∵f（x）=sin²x+acosx-

1

2

a-

3

2

=-cos²x+acosx-

a+1

2

=-（cosx-

a

2

）²+

a2-2a-2

4

，
当-1≤

a

2

≤1时，即-2≤a≤2时，则当cosx=

a

2

，函数的最大值为

a2-2a-2

4

=1，解得a=1+

7

＞2（舍去），a=1-

7

，
当

a

2

＞1时，即a＞2时，则当cosx=1时，函数有最大值，即1=-1+a-

a+1

2

，解得a=5，
当

a

2

＜-1时，即a＜-2时，则当cosx=-1时，函数有最大值，即1=-1-a-

a+1

2

，解得a=-7，
（Ⅲ）∵f（x）═-cos²x+acosx-

a+1

2

，
令t=cosx，由x∈[0，

π

3

]，得t∈[

1

2

，1]，
则f（t）=-t²+at-

a+1

2

∵f（x）≥

1

2

-

a

2

都成立，
∴f（t）≥

1

2

-

a

2

都成立，
∴-t²+at-

a+1

2

≥

1

2

-

a

2

在t∈[

1

2

，1]上恒成立，
即a≥t+

1

t

，在t∈[

1

2

，1]上恒成立，
设g（t）=t+

1

t

，
则g′（t）=1-

1

t2

≤0恒成立，
∴函数g（t）在[

1

2

，1]上为减函数
∴g（t）≤g（

1

2

）=

5

2

∴a≥

5

2

点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值以及余弦函数的值域，函数恒成立，培养了学生的转化能力、分类讨论能力，恒成立问题往往转化为函数的最值解决，属于难题．