Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}满足S₇=77，且a₁，a₃，a₁₁成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=2 an，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），由等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，
再代入等差数列的通项公式化简即可；
（2）由（1）和题意求出b_n，根据等比数列的通项公式判断出数列{b_n}是以4为首项，8为公比的等比数列，代入等比数列的前n项和公式化简即可．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
因为S₇=

7(a1+a7)

2

=77，所以7a₄=77，则a₁+3d=11，①
因为a₁，a₃，a₁₁成等比数列，所以a

2 3

=a₁a₁₁，整理得2d²=3a₁d，
又d≠0，所以2d=3a₁．②
联立①②，解得a₁=2，d=3．
所以a_n=3n-1．

（2）因为b_n=2 an，所以b_n=2^3n-1=

1

2

•8ⁿ，
所以数列{b_n}是以4为首项，8为公比的等比数列，
由等比数列前n项和公式得，T_n=

4(1-8n)

1-8

=

23n+2-4

7

．

点评：本题考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式，熟练掌握公式是解题的关键．