Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且PD=DC=2，∠ABC=60°，
（1）求证：AC⊥面 PDB；
（2）求直线PD与平面PAC所成角的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件推导出AC⊥BD，AC⊥PD，由此能证明AC⊥面PDB．
（2）利用等体积，求出D到平面PAC的距离，即可求出直线PD与平面PAC所成角的正切值．

解答： （1）证明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵PD∩BD=D，
∴AC⊥面PDB．
（2）解：△PAC中，PA=PC=

2

a，AC=a，S_△PAC=

1

2

×

2

a×

a2+ a2 2

=

3

2

a2，
设D到平面PAC的距离为h，则

1

3

×

3

2

a2h=

1

3

×

1

2

×a×a×a，
∴h=

3

3

a，
设直线PD与平面PAC所成角为α，则sinα=

3

3

，
∴tanα=

2

2

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查线面角的正切值的求法，解题时要认真审题，等体积法的合理运用．