Question

已知关于x的不等式|x+1|+|x-1|≤4m²+

1

m

对m＞0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：关于x的不等式|x+1|+|x-1|≤4m²+

1

m

对m＞0恒成立，即为|x+1|+|x-1|≤（4m²+

1

m

）_min，运用导数判断右边函数的单调性，进而得到极小值也为最小值，再由解绝对值不等式的方法，即可解得．

解答： 解：关于x的不等式|x+1|+|x-1|≤4m²+

1

m

对m＞0恒成立，
即为|x+1|+|x-1|≤（4m²+

1

m

）_min，
由于4m²+

1

m

的导数为8m-

1

m2

，当m＞

1

2

时，导数大于0，函数递增，
当0＜m＜

1

2

时，导数小于0，函数递减，则m=

1

2

，取得极小值也为最小值，
且为3，
即有|x+1|+|x-1|≤3，
当x≥1时，由2x≤3，解得，x≤

3

2

，则有1≤x≤

3

2

；
当x≤-1时，由-x-1+1-x≤3，解得，x≥-

3

2

，则有-

3

2

≤x≤-1；
当-1＜x＜1时，由-x-1+1-x≤3即有0≤3成立，则有-1＜x＜1．
故实数x的取值范围是[-

3

2

，

3

2

]．

点评：本题考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题，考查导数的运用，考查绝对值不等式的解法，属于中档题．