Question

设递增数列{a_n}满足a_l=1，a_l、a₂、a₅成等比数列，且对任意n∈N^*，函数．f（ x）=（a_n+2-a_n+1）x-（aⁿ-a_n-1）sinx+a_ncosx满足f′（π）=0．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{a_n}的前n项和为S_n，b_n=

1

Sn

，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由f′（x）=a_n+2-a_n+1-（a_n-a_n+1）cosx-a_nsinx，得2a_n+1=a_n+a_n+2，由a_l、a₂、a₅成等比数列，得d=2，由此能求出a_n=2n-1．
（Ⅱ）S_n=

(a1+an)n

2

=n²，b_n=

1

n2

，

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，由此能证明T_n＜2．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（ x）=（a_n+2-a_n+1）x-（aⁿ-a_n-1）sinx+a_ncosx，
∴f′（x）=a_n+2-a_n+1-（a_n-a_n+1）cosx-a_nsinx，
∴f′（π）=a_n+2-a_n+1+a_n-a_n+1=0，即2a_n+1=a_n+a_n+2，
∴{a_n}是以a₁=1为首项的等差数列，
设数列{a_n}的公差为d，则d＞0，
由a_l、a₂、a₅成等比数列，得（a₁+d）²=a₁（a₁+4d），解得d=2，
∴a_n=2n-1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S_n=

(a1+an)n

2

=n²，∴b_n=

1

n2

，∴T₁=b₁=1＜2．
∵当n≥2时，

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

1

12

+

1

22

+

1

32

…+

1

n2

＜

1

12

+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=1+1-

1

2

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2，
∴T_n＜2．（13分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．