题目内容

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，A1B1⊥BC，BC=1，
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），(0，
3
)、F分别为F1（-c，0），F2（c，0）、BC的中点．
（Ⅰ）求证：C1F∥平面ABE；
（Ⅱ）求三棱锥A-BCE的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）运用中点得出FG∥AC，且FG=
1
2
AC，即四边形FGEC1为平行四边形，C1F∥EG，EG?平面ABE，C1F?平面ABE，运用定理判断即可．
（Ⅱ）在三角形ABC中，求解AB=
CA2-CB2
=
3
，运用：三棱锥A-BCE的体积为VA-BCE=VE-ABE．
解答： 解：（Ⅰ）：取AB中点G，连结EG，FG，
∵E，F分别是A1C1，BC的中点
∴FG∥AC，且FG=
1
2
AC
∵AC∥A1C1，且AC=A1C1
∴FG∥EC1，且FG=EC1
∴四边形FGEC1为平行四边形，
∴C1F∥EG
又∵EG?平面ABE，C1F?平面ABE
∴C1F∥平面ABE，
（Ⅱ）∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC
∴AB=
CA2-CB2
=
3

∴三棱锥A-BCE的体积为VA-BCE=VE-AB=
1
3
S△ABC•AA1=
1
3
×
1
2
×
3
×1×2=
3
3
．
点评：本题考查了空间几何体中的线面关系，求解体积，证明平行问题，抓住空间平面的转化即可，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
若方程
x2
3
-
y2
sin(2θ+
π
4
)
=1的曲线是椭圆，则θ的取值范围是
 
．
已知双曲线
x2
a2
-y2=1（a＞0）的渐近线方程为x±y=0，则双曲的焦距为（　　）
A、2
B、2
2
C、
2
D、4
若θ为曲线y=x3+3x2+ax+2的切线的倾斜角，且所有θ组成的集合为[
π
4
，
π
2
），则实数a的值为
 
．
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，E为A1B1的中点，则异面直线D1E与BC1间的距离为
 
．
设递增数列{an}满足al=1，al、a2、a5成等比数列，且对任意n∈N*，函数．f（ x）=（an+2-an+1）x-（an-an-1）sinx+ancosx满足f′（π）=0．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{an}的前n项和为Sn，bn=
1
Sn
，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜2．
请仔细阅读以下材料：
已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数．
求证：命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则f(a)+f(b)＞f(
1
a
)+f(
1
b
)”是真命题．
证明 因为a，b∈R+，由ab＞1得a＞
1
b
＞0．
又因为f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递增函数，
于是有f(a)＞f(
1
b
)．      ①
同理有f(b)＞f(
1
a
)．      ②
由①+②得f(a)+f(b)＞f(
1
a
)+f(
1
b
)．
故，命题“设a，b∈R+，若ab＞1，则f(a)+f(b)＞f(
1
a
)+f(
1
b
)”是真命题．
请针对以上阅读材料中的f（x），解答以下问题：
（1）试用命题的等价性证明：“设a，b∈R+，若f(a)+f(b)＞f(
1
a
)+f(
1
b
)，则：ab＞1”是真命题；
（2）解关于x的不等式f（ax-1）+f（2x）＞f（a1-x）+f（2-x）（其中a＞0）．
在△ABC中，A，B，C是三角形内角，且∠B=60°，a+c=4，求b的取值范围．
已知A，B，C，D，E为抛物线y=
1
4
x2上不同的五个点，焦点为F，且
FA
+
FB
+
FC
+
FD
+
FE
=
0
，则|
FA
|+|
FB
|+|
FC
|+|
FD
|+|
FE
|=
 
．

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