Question

如右下图,在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,已知AB=" 4," AD ="3," AA₁= 2。 E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.
(1) 求二面角C—DE—C₁的余弦值;
(2) 求直线EC₁与FD₁所成的余弦值.

Answer 1

解：（I）（法一）矩形ABCD中过C作CHDE于H，连结C₁H
CC₁面ABCD，CH为C₁H在面ABCD上的射影
C₁HDE  C₁HC为二面角C—DE—C₁的平面角
矩形ABCD中得EDC=，DCH中得CH=，
又CC₁=2，
C₁HC中，，
C₁HC
二面角C—DE—C₁的余弦值为             7分
（2）以D为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有A(3,0,0)、D₁(0,0,2)、B（3，4，0），E(3,3,0)、F(2，4,0)、C₁(0,4,2)
设EC₁与FD₁所成角为β，则
   
故EC₁与FD₁所成角的余弦值为          14分
（法二）（1）以D为原点，分别为x轴，y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系，则有A(3,0,0)、D₁(0,0,2)、B（3，4，0），E(3,3,0)、F(2，4,0)、C₁(0,4,2)
于是，，，
设向量与平面C₁DE垂直，则有
，
令，则         
又面CDE的法向量为
                    7分
由图，二面角C—DE—C₁为锐角，故二面角C—DE—C₁的余弦值为    8分
（II）设EC₁与FD₁所成角为β，则
 
故EC₁与FD₁所成角的余弦值为                               14分

略