Question

16．设命题p：实数满足x²-4ax+3a²＜0，a≠0；命题q：实数满足$\frac{x-3}{2-x}$≥0．
（1）若a=1，p∧q为真命题，求x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解答 解：由x²-4ax+3a²＜0，a≠0得（x-a）（x-3a）＜0，
（1）若a=1，则p：1＜x＜3，
若p∧q为真，则p，q同时为真，
即$\left\{\begin{array}{l}{2＜x≤3}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$，解得2＜x＜3，
∴实数x的取值范围（2，3）．
（2）由$\frac{x-3}{2-x}$≥0，得$\frac{x-3}{x-2}≤0$，解得2＜x≤3．
即q：2＜x≤3．
若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，
则必有a＞0，此时p：a＜x＜3a，a＞0．
则有$\left\{\begin{array}{l}{3a＞3}\\{a≤2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤2}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤2．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，