Question

18．如图，已知抛物线x²=2py（p＞0），过点A（0，-1）作直线l与抛物线相交于P、Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP、BQ，设QB、BP与x轴分别相交于M、N两点，如果QB斜率与PB的斜率之积为-3，则∠MBN的余弦值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，得x²-2pkx+2p=0，由此利用韦达定理推导出k_BP+k_BQ=0，再由k_BP•k_BQ=-3，得k_BP=$\sqrt{3}$，k_BQ=-$\sqrt{3}$，由此能求出cos∠MBN．

解答 解：设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{{x}^{2}=2py}\end{array}\right.$，得x²-2pkx+2p=0，
∵过点A（0，-1）作直线l与抛物线相交于P、Q两点，
∴△=4p²-8p＞0，x₁+x₂=2pk，x₁x₂=2p，
${k}_{BP}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$，${k}_{BQ}=\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}}$，
k_BP+k_BQ=$\frac{k{x}_{1}-2}{{x}_{1}}+\frac{k{x}_{2}-2}{{x}_{2}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2k•2p-2•2pk}{2p}$=0，
即k_BP+k_BQ=0①
又k_BP•k_BQ=-3②，
联立①②解得k_BP=$\sqrt{3}$，k_BQ=-$\sqrt{3}$，
∴∠BNM=$\frac{π}{3}$，∠BMN=$\frac{π}{3}$，∴∠MBN=$\frac{π}{3}$，∴cos∠MBN=cos$\frac{π}{3}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查角的余弦值的求法，考查抛物线、韦达定理、直线斜率等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．